Menjelaskan persamaan eksponensial (berbasis sama ) dan fungsi eksponensial

 

Pengertian Persamaan Eksponen

Di artikel sebelumnya, Quipper Blog sudah pernah membahas apa itu eksponen. Eksponen merupakan bentuk perkalian suatu bilangan dengan dirinya sendiri sebanyak pangkatnya. Persamaan eksponen adalah persamaan bilangan berpangkat yang memuat variabel di bagian pangkatnya. Oleh karena memuat suatu variabel, maka pangkatnya bisa dinyatakan sebagai suatu fungsi, misal f(x) atau g(x) untuk pangkat bervariabel x. Contoh persamaan eksponen adalah 3^{2x – 4}  = 3².

Bentuk Umum Persamaan Eksponen

Adapun bentuk umum persamaan eksponen adalah sebagai berikut.

a^f(x) = a^g(x)

Dengan:

a = basis (bilangan pokok); dan

f(x) dan g(x) = pangkat atau eksponen.

Quipperian harus ingat ya, jika bentuk umum persamaan eksponen pasti memuat variabel di bagian pangkatnya. Jika variabel bukan di bagian pangkat, maka persamaannya bukan termasuk persamaan eksponen, contoh:

• 2^{x + 1} = 2⁵ → persamaan eksponen
• (2x + 1)^2x = x^{x – 1}   → persamaan eksponen
• x² + 2 = 0  → bukan persamaan eksponen karena variabelnya terletak di bagian basis.

Meskipun memiliki bentuk umum tertentu, namun persamaan eksponen itu beragam seperti persamaan eksponen bentuk akar, persamaan eksponen sederhana, persamaan eksponen tak sederhana, dan lainnya.

Pengertian fungsi eksponensial

Dilansir dari Encyclopedia Britannica, fungsi eksponensial adalah fungsi nonaljabar atau transcendental yang tidak dapat direpresentasikan sebagai produk, jumlah, dan perbedaan variabel yang dipangkatkan ke bilangan bulat non-negatif.

Fungsi eksponensial merupakan fungsi berpangkat, yang pangkatnya memiliki variabel. Jika biasanya fungsi memiliki basis berupa variabel dan pangkat atau eksponen berupa konstanta, maka fungsi eksponensial adalah sebaliknya

Fungsi Eksponensial: Pengertian, Bentuk Umum, dan Rumusnya

Pengertian fungsi eksponensial

Dilansir dari Encyclopedia Britannica, fungsi eksponensial adalah fungsi nonaljabar atau transcendental yang tidak dapat direpresentasikan sebagai produk, jumlah, dan perbedaan variabel yang dipangkatkan ke bilangan bulat non-negatif.

Pengertian fungsi eksponensial

Dilansir dari Encyclopedia Britannica, fungsi eksponensial adalah fungsi nonaljabar atau transcendental yang tidak dapat direpresentasikan sebagai produk, jumlah, dan perbedaan variabel yang dipangkatkan ke bilangan bulat non-negatif.

Fungsi eksponensial merupakan fungsi berpangkat, yang pangkatnya memiliki variabel. Jika biasanya fungsi memiliki basis berupa variabel dan pangkat atau eksponen berupa konstanta, maka fungsi eksponensial adalah sebaliknya.

Fungsi eksponensial memiliki grafik yang unik. Grafik eksponensial bukan berbentuk garis lurus, melainkan garis lengkung yang menurun atau menanjak.

Bentuk umum fungsi eksponensial

Fungsi eksponensial memiliki bentuk umum berupa:

f(x) = a^x

Dengan,
a: konstanta
x: variabel

Nilai harus lebih besar dari nol dan tidak boleh sama dengan satu. Dilasir dari Mathematics LibreTexts, hal tersebut dikarenakan basis fungsi eksponensial harus positif agar hasil yang didapatkan juga berupa bilangan real.

Contoh 1
Soal: Tentukan penyelesaian dari persamaan ekponensial berikut ini  22x-7 = 81-x
Jawab:
Pertama-tama yang perlu Gengs lakukan yaitu menyamakan basis pada kedua ruas [ruas kanan dan ruas kiri] seperti berikut:
22x-7 = 81-x
22x-7 = (23)1-x
22x-7 = 23-3x
Nahhhh karena basismya telah sama, maka dengan mudah kita dapat menentukan nilai x-nya seperti berikut ini.
2x – 7 = 3 – 3x
5x = 10
x = 2
Sehingga kita peroleh x = 2

Contoh 2

Soal: Tentukan nilai x dari persamaan 3⁵ˣ⁻¹ – 27ˣ⁺³ = 0
Jawab:
3⁵ˣ⁻¹ – 27ˣ⁺³ = 0
3⁵ˣ⁻¹ = (3³)ˣ⁺³
3⁵ˣ⁻¹ = 3³ˣ⁺⁹
5x-1 = 3x + 9
   2x = 10
x = 5

Contoh 3

Soal: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial berikut
3ˣ⁺²+3ˣ=10
Jawab:
3ˣ⁺²+3ˣ=10
3ˣ(3²+1)=10

3ˣ(10)=10
3ˣ = 1
3ˣ=3⁰
x=0

Contoh 4

1. Diketahui nilai dari persamaan 2y + 2-y = 5. Tentukan berapakah nilai dari persamaan eksponensial berikut 22y + 2-2y

Pembahasan:

22y + 2-2y
= (2y)² + (2-y)²
= (2y + 2-y)² - 2 (2y . 2-y)
= (5)² - 2 (20)
= 25 – 2 (1)
= 25 – 2
= 23

Contoh 5

Soal: Akar-akar persamaan 2.3⁴ˣ – 20.3²ˣ + 18 = 0$ adalah x₁ dan x₂. Nilai x₁ + x₂ adalah
Jawab:
Dengan menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen, maka:

2.3⁴ˣ – 20.3²ˣ + 18 = 0

(3²ˣ) – 10.3²ˣ + 9 = 0

(3²ˣ – 9)(3²ˣ – 1) = 0

3²ˣ = 9 atau 3²ˣ = 1

3²ˣ = 3² atau 3²ˣ = 3⁰

2x = 2 atau 2x = 0

x = 1 atau x = 0

Jadi x₁ + x ₂ = 1 + 0